北京大学《常微分方程》2022-2023学年期末试卷

北京大学工学院课程试卷课程名称：常微分方程2022-2023学年第(1)学期期末本试卷共5道大题，满分100分(考试结束后请将试卷、答题本一起交给监考老师)1.(35分)考虑空气阻力的单摆运动方程为：0”=-sin0-u0',这里4>0.(1)将其改写为方程组，给出所有奇点；(2)判断奇点的类型；（〔3）构造一个Lyapunov函数，证明静止平衡态的稳定性；〔4)在相平面内作出轨线的草图(注意2π周期性)。2.(15分)y=√1-y2在初值条件y(0)=-1下解是否唯一？如唯一，请给出这个解；如不唯一，请指出存在唯一性定理的什么条件不成立？3.(15分)讨论系统x'=1-3x+x3随参数的分叉，并作出分叉图。4.(15分)证明：x'=y,y=-x+y-x3-x2y有极限环。5.(20分)已知函数q(x)>0,q(x)>0,1imq(x)=c2,求证：(1)若将方程y”+q(x)y=0某一非零解的所有非负零点由小到大排成一个序列{xn},则xn+1-xn

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